Формула Тейлора в интегральной форме

Если $f(x)$ - $n$ раз непрерывно дифференцируема в $O(x_{0})$, то: $$\forall{ x \in O(x_{0})}\mathpunct{:}~~ f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k} + \dfrac{1}{(n-1)!} \int_{x_{0}}^{x} f^{(n)}(t)(x-t)^{n-1} \, dt$$

**База индукции** $n = 1$, следовательно по формуле Ньютона-Лейбница: $$f(x) = f(x_{0}) + \int_{x_{0}}^{x} f'(t) \, dt$$ **Шаг индукции** Проинтегрируем по частям: $$\begin{align} \dfrac{1}{(n-1)!}\int_{x_{0}}^{x} f^{(n)}(t)(x-t)^{n-1} \, dt &= \dfrac{1}{(n-1)!} \left( f^{(n)}(t) \cdot \dfrac{-(x-t)^{n}}{n} \Bigg|_{x_{0}}^{x} + \int_{x_{0}}^{x} f^{(n+1)}(t) \dfrac{(x-t)^{n}}{n} \, dt \right) \\ &= \dfrac{1}{n!} f^{(n)}(x_{0}) (x-x_{0})^{n} + \dfrac{1}{n!} \int_{x_{0}}^{x} f^{(n+1)}(t)(x-t)^{n} \, dt \end{align}$$ $\square$